已知数列{an}中，a0=2，a1=3，a2=6，且对n≥3时，有an=（n+4）an-1-4nan-2+（4n-8）an-3．
（Ⅰ）设数列{bn}满足bn=an-nan-1，n∈N*，证明数列{bn+1-2bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记n×（n-1）×…×2×1=n!，求数列{nan}的前n项和Sn．
网友回答
解：（Ⅰ）?证明：由条件，得an-nan-1=4[an-1-（n-1）an-2]-4[an-2-（n-2）an-3]，
则an+1-（n+1）an=4[an-nan-1]-4[an-1-（n-1）an-2]．…2分
即bn+1=4bn-4bn-1．又b1=1，b2=0，所以bn+1-2bn=2（bn-2bn-1），b2-2b1=-2≠0．
所以{bn+1-2bn}是首项为-2，公比为2的等比数列．?…4分b2-2b1=-2，所以bn+1-2bn=2n-1（b2-2b1）=-2n．
两边同除以2n+1，可得．…6分
于是为以首项，-为公差的等差数列．
所以．…8分
（Ⅱ）an-2n=nan-1-n2n-1=n（an-1-2n-1），令cn=an-2n，则cn=ncn-1．
而c1=1，∴cn=n（n-1）?…?2?1?c1=n（n-1）?…?2?1．
∴an=n（n-1）?…?2?1+2n．?…12分nan=n?n?（n-1）?…?2?1+n2n=（n+1）!-n!+n?2n，
∴Sn=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×22+…+n×2n）．…14分
令Tn=1×2+2×22+…+n×2n，①
则2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1．②
①-②，得-Tn=2+22+…+2n-n×2n+1，Tn=（n-1）2n+1+2．
∴．…16分．
解析分析：（Ⅰ）由条件，得an-nan-1=4[an-1-（n-1）an-2]-4[an-2-（n-2）an-3]，进而再写一式an+1-（n+1）an=4[an-nan-1]-4[an-1-（n-1）an-2]．代入化简得bn+1=4bn-4bn-1．构建数列{bn+1-2bn}，从而可证明其是首项为-2，公比为2的等比数列．由此可求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）易得nan=n?n?（n-1）?…?2?1+n2n=（n+1）!-n!+n?2n，从而Sn=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×22+…+n×2n），同乘公比，错位相减可求．
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项及求和问题，掌握通解通法是关键．应学会构造法求数列的通项．