已知n是正整数，数列{an?}的前n项和为Sn，a1=1，数列{}的前n项和为Tn，数列{?Tn?}的前n项和为Pn，Sn是nan与an的等差中项?
（1）求Sn；
（2）证明：（n+1）Tn+1-nTn-1=Tn；
（3）是否存在数列{bn}，使Pn=（bn+1）Tn-bn？若存在，求出所有数列{bn}，若不存在，请说明理由．
网友回答
解：（1）∵Sn是nan与an的等差中项，
∴2Sn=nan+an，
∴2Sn+1=（n+1）an+1+an+1，
∴2Sn+1-2Sn=2an+1=（n+1）an+1+an+1-nan-an，
化简，得，
∴，
∴{an}是等差数列，
∴．
（2）证明：∵（n+1）Tn+1-nTn-1=n（Tn+1-Tn）+Tn+1-1
=
=，
∴Tn=（n+1）Tn+1-nTn-1．
（3）解：∵Tn=（n+1）Tn+1-nTn-1，
∴T1+T2+…+Tn=[2T2-T1-1]+[3T3-2T2-1]+…+[（n+1）Tn+1-nTn-1]
=（n+1）Tn+1-T1-n
=（n+1）Tn-n，
∴Pn=（n+1）Tn-n
∴存在数列{bn}，使Pn=（bn+1）Tn-bn，且bn=n．
解析分析：（1）由题设知2Sn=nan+an，2Sn+1=（n+1）an+1+an+1，所以，，由此能求出．（2）由（n+1）Tn+1-nTn-1=n（Tn+1-Tn）+Tn+1-1==，知Tn=（n+1）Tn+1-nTn-1．（3）由Tn=（n+1）Tn+1-nTn-1，知Pn=（n+1）Tn-n，故存在数列{bn}，使Pn=（bn+1）Tn-bn，且bn=n．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意数列的前n项和的求法和数列的证明，解题过程中合理地进行等价转化．