在证明是否可以矩阵对角化过程中,利用定理n阶矩阵A可以对角化的充要条件为A有n个线性无关特征向量但往往计算过程中实际看的仅是所求的基础解系个数,在P^-1AP=diag中P=(α1 α2 α3）也是用基础解系来表示,为什么?不是应该看线性无关特征向量的个数吗,然而互不相同的特征值所对应的特征向量线性无关,且有无穷个,那不是肯定能找到n个吗?
网友回答
定理:n阶矩阵A可以对角化的充要条件为A有n个线性无关特征向量
k重特征值有k个线性无关的特征向量
而 对k重特征值λ, 属于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组 (A-λE)x=0 的非零解
所以属于特征值λ的线性无关的特征向量的个数为 n-r(A-λE) --基础解系所含向量的个数
所以计算过程中只需看相关特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数
特征向量有无穷多, 但线性无关的特征向量的个数 不超过 n 个