已知数列{an}和{bn}满足：对于任何n∈N*，有an=bn+1-bn，bn+2=（1+λ）bn+1-λbn（λ为非零常数），且b1=1，b2=2．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若b3是b6与b9的等差中项，试求λ的值，并研究：对任意的n∈N*，bn是否一定能是数列{bn}中某两项（不同于bn）的等差中项，并证明你的结论．
网友回答
解：（1）由bn+1=（1+λ）bn-λbn-1（n≥2，λ≠0）得，bn+1-bn=λ（bn-bn-1）．
又a1=b2-b1=1，λ≠0，an≠0．
所以，{an}是首项为1，公比为λ的等比数列，an=λn-1．（5分）
由bn-b1=（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1），得bn-b1=1+λ+…+λn-2（n≥2）
所以，当n≥2时，．（6分）
上式对n=1显然成立（1分）
（2）当λ=1时，b3不是b6与b9的等差中项，不合题意；．（1分）
当λ≠1时，由2b3=b6+b9得λ8+λ5-2λ2=0，
由λ≠0得λ6+λ3-2=0（可解得）..（2分）
对任意的n∈N*，bn是bn+3与bn+6的等差中项（2分）
证明：∵，∴，..（3分）
即，对任意的n∈N*，bn是bn+3与bn+6的等差中项．
解析分析：（1）由bn+1=（1+λ）bn-λbn-1（n≥2，λ≠0）得，bn+1-bn=λ（bn-bn-1）．所以an=λn-1．由bn-b1=（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1），得bn-b1=1+λ+…+λn-2（n≥2），从而得到数列{an}和{bn}的通项公式．（2）当λ=1时，b3不是b6与b9的等差中项，不合题意；当λ≠1时，由2b3=b6+b9得λ8+λ5-2λ2=0，对任意的n∈N*，bn是bn+3与bn+6的等差中项．由，知，故对任意的n∈N*，bn是bn+3与bn+6的等差中项．
点评：本题考查求解数列通项公式的方法和等差中项的性质与证明，解题时要注意递推公式的灵活运用．