解答题已知双曲线C:(a>0,b>0)(1)若a=4,b=3,过点P(6,3)的动直线

发布时间:2020-07-09 05:31:11

解答题已知双曲线C:(a>0,b>0)
(1)若a=4,b=3,过点P(6,3)的动直线l与双曲线C相交与不同两点A,B时,在线段AB上取点Q,满足,求证点Q总在某定直线上.
(2)在双曲线C:(a>0,b>0),过双曲线外一点P(m,n)的动直线l与双曲线C相交与不同两点A,B时,在线段AB上取点Q,满足,则点Q在哪条定直线上?
(3)试将该结论推广至其它圆锥曲线上,证明其中的一种情况,并猜想该直线具有的性质.

网友回答

解:(1)由题意得双曲线C的方程为 .

设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2).
由题设知 均不为零,记 ,则λ>0且λ≠1
又A,P,B,Q四点共线,从而
于是 ,,,
从而 ①,②,
又点A、B在椭圆C上,即 ③, ④,
①×9-②×16并结合③、④得9x-8y=24,
即点Q(x,y)总在定直线9x-8y=24上.
(2)类似于(1)可得结论:在双曲线C:(a>0,b>0),过双曲线外一点P(m,n)的动直线l与双曲线C相交与不同两点A,B时,在线段AB上取点Q,满足,
得出点Q在定直线b2mx-a2ny=a2b2上;
(3)该结论推广至其它椭圆上,有:
在椭圆C:(a>0,b>0),过椭圆外一点P(m,n)的动直线l与椭圆C相交与不同两点A,B时,在线段AB上取点Q,满足,得出点Q在定直线b2mx+a2ny=a2b2上;
类似于(1)得:
于是 ,,,
从而 ①,②,
又点A、B在椭圆C上,即 ③, ④,
①×b2+②×a2并结合③、④得b2mx+a2ny=a2b2,
即点Q(x,y)总在定直线b2mx+a2ny=a2b2上.解析分析:(1)a=4,b=3,可得双曲线的方程.欲证点Q总在某定直线上,所以先设点Q的坐标为变量(x,y),点A、B的坐标分别为参数(x1,y1)、(x2,y2),然后根据已知条件可变形得 ,设其比值为λ则有 、,此时利用定比分点定理可得A、B、P三点横坐标关系及纵坐标关系,同时可得A、B、Q三点横坐标关系及纵坐标关系,又因为点A、B的坐标满足双曲线方程,再利用已得关系式可整体替换,同时消去参数λ,最后得到变量x、y的关系式,则问题得证.(2)类似于(1)可得结论:在双曲线C:(a>0,b>0),过双曲线外一点P(m,n)的动直线l与双曲线C相交与不同两点A,B时,在线段AB上取点Q,满足,得出点Q在那条定直线上;(3)该结论推广至其它椭圆上,有:在椭圆C:(a>0,b>0),过椭圆外一点P(m,n)的动直线l与椭圆C相交与不同两点A,B时,在线段AB上取点Q,满足,得出点Q在定直线b2mx+a2ny=a2b2上.点评:本题综合考查双曲线性质与定比分点定理,同时考查构造消元处理方程组的能力.
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