解答题设k∈R，函数，F（x）=f（x）+kx，x∈R．（1）当k=1时，求函数F（x

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解：（1），
当x＞0时，，即x=1时，F（x）最小值为2．
当x≤0时，F（x）=ex+x，在（-∞，0）上单调递增，所以F（x）≤F（0）=1．
所以k=1时，F（x）的值域为（-∞，1]∪[2，+∞]．
（2）依题意得
①若k=0，当x＞0时，F′（x）＜0，F（x）递减，当x≤0时，F′（x）＞0，F（x）递增．
②若k＞0，当x＞0时，令F′（x）=0，解得，
当时，F′（x）＜0，F（x）递减，当时，F′（x）＞0，F（x）递增．
当x＜0时，F′（x）＞0，F（x）递增．
③若-1＜k＜0，当x＞0时，F′（x）＜0，F（x）递减．
当x＜0时，解F′（x）=ex+k=0得x=ln（-k），
当ln（-k）＜x＜0时，F′（x）＞0，F（x）递增，
当x＜ln（-k）时，F′（x）＜0，F（x）递减．
④k≤-1，对任意x≠0，F′（x）＜0，F（x）在（-∞，0），（0，+∞）上递减．
综上所述，当k＞0时，F（x）在（-∞，0]或上单调递增，在上单调递减；
当k=0时，F（x）在（-∞，0]上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；
当-1＜k＜0时，F（x）在（ln（-k），0]上单调递增，在（-∞，ln（-k）），（0，+∞）上单调递减；
当k≤-1时，F（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减．解析分析：（1）通过当x＞0，x≤0时，分段求函数F（x）的值域，最后综合即可；（2）先求出F′（x），因为k的取值决定了F′（x）的正负，所以分四种情况讨论k的取值范围即可得到函数单调性即可．点评：本题考查函数的单调性的应用，利用导数研究函数的单调能力，函数的值域的求法，分类讨论思想的应用，考查转化思想计算能力．