解答题如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=，D是CB延长线上一点，且BD=BC．
（1）求证：直线BC1∥平面AB1D；
（2）求二面角B1-AD-B的大小；
（3）求三棱锥C1-ABB1的体积．
网友回答
解：（1）∵CB∥C1B1，且BD=BC=B1C1，
∴四边形BDB1C1是平行四边形，可得BC1∥DB1．
又B1D?平面AB1D，BC1?平面AB1D，
∴直线BC1∥平面AB1D
（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB1
∵BB1⊥平面ABD，∴BE是B1E在平面ABD内的射影
结合BE⊥AD，可得B1E⊥AD，
∴∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角．
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，得BE是三角形ACD的中位线，所以BE=AC=．
在Rt△BB1E中，tan∠B1BE===
∴∠B1EB=60°，即二面角B1-AD-B的大小为60°
（3）过A作AF⊥BC于F，
∵BB1⊥平面ABC，BB1?平面BB1C1C
∴平面BB1C1C⊥平面ABC
∵AF⊥BC，平面BB1C1C∩平面ABC=BC
∴AF⊥平面BB1C1C，即AF为点A到平面BB1C1C的距离．
∵正三角形ABC中，AF=×3=，
∴三棱锥C1-ABB1的体积VC1-ABB1=VA-C1BB1=××=．解析分析：（1）根据三棱柱的性质，可以证出BC1∥DB1，结合线面平行的判定定理可以证出直线BC1∥平面AB1D；（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB1，根据三垂线定理得∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角．在Rt△BB1E中，利用三角函数的定义可算出∠B1EB=60°，即二面角B1-AD-B的大小为60°．（3）过A作AF⊥BC于F，利用面面垂直的性质定理，可得AF⊥平面BB1C1C，即AF等于点A到平面B1C1B的距离．利用等边三角形计算出AF的长为，结合三角形B1C1B的面积等于，用锥体体积公式可以算出三棱锥C1-ABB1的体积．点评：本题以一个特殊正三棱柱为载体，适当加以变化，求三棱锥的体积并求二面角的大小，着重考查了空间线面平行的判定、面面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．