解答题已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（1+）2?an．
（1）求证数列{}是等比数列，并求其通项公式；
（2）设b，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设Cn=，求证：．
网友回答
（1）解：∵an+1=2（1+）2?an，
∴=2?
∵a1=2，∴{}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴
∴an=n2?2n；??
（2）解：=n?2n
∴Sn=1?21+2?22+…+n?2n
∴2Sn=1?22+2?23+…+（n-1）?2n+n?2n+1
两式相减可得-Sn=2n+1-2-n?2n+1
∴Sn=2+（n-1）?2n+1；
（3）证明：cn==＞0，
设Tn=c1+c2+c3+…+cn，则T1＜T2＜T3＜T4，
当n≥4时，Tn=＜=-＜＜=
综上：c1+c2+c3+…+cn＜解析分析：（1）利用an+1=2（1+）2?an，可得=2?，从而可得{}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可并求其通项公式；（2）利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Sn；（3）利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可证得结论．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，属于中档题．