解答题已知函数f(x)=ax3+x2+(3a+1)x?(x∈R),f(x)在x=2处取

发布时间:2020-07-09 02:49:51

解答题已知函数f(x)=ax3+x2+(3a+1)x?(x∈R),f(x)在x=2处取得极值
(1)求f(x)的表达式;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值.

网友回答

解:(1)由题意得f′(x)=3ax2+2x+3a+1
∵f(x)在x=2处取得极值
∴f/(2)=0,∴

(2)由(1)知,f'(x)=-x2+2x,令f'(x)=0
解得 x1=0,x2=2
从而f(x)在区间(-∞,0),(2,+∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数,
计算可知:极值f(0)=0,f(2)=,区间端点值为
则f(x)在区间[-1,3]上的最大值为和最小值0.解析分析:(1)先求导函数,再根据f(x)在x=2处取得极值,从而进而确定函数的表达式;(2)由(1)知,f'(x)=-x2+2x,由f'(x)≥0求得增区间,由f'(x)≤0求得减区间;求最值时从极值和端点值中取.点评:本题以函数为载体,考查的极值,考查用导数研究函数的单调性和求函数的最值.
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