选做题
如图所示,AB是⊙O的直径,G为AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点G作AB的垂线,交AC的延长线于点E,交AD的延长线于点F,过G作⊙O的切线,切点为H.求证:(Ⅰ)C,D,F,E四点共圆;(Ⅱ)GH2=GE?GF.
网友回答
证明:(Ⅰ)连接BC.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵AG⊥FG,
∴∠AGE=90°.又∠EAG=∠BAC,∴∠ABC=∠AEG.又∠FDC=∠ABC,
∴∠FDC=∠AEG.∴∠FDC+∠CEF=180°.
∴C,D,F,E四点共圆.(5分)
(Ⅱ)∵GH为⊙O的切线,GCD为割线,∴GH2=GC?GD.
由C,D,F,E四点共圆,得∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠GDF.
∴△GCE∽△GFD.∴=,即GC?GD=GE?GF,
∴CH2=GE?GF.(10分)
解析分析:(I)连接BC.由已知中AB是⊙O的直径,可得∠ACB=90°,由过点G作AB的垂线,交AC的延长线于点E,可得∠AGE=90°,进而得到∠FDC=∠AEG,根据圆内接四边形判定定理,即可得到C,D,F,E四点共圆;(Ⅱ)由(I)中C,D,F,E四点共圆,则GCD和GEF分别为圆的两条件割线,则GE?GF=GC?GD,又由已知中GH为圆O的切线,GCD为圆O的割线,由切割线定理可得GH2=GC?GD,进而得到结论.
点评:本题考查的知识点是与圆相关的比例线段及圆内接四边形的判定,其中根据圆内接四边形判定定理,判断C,D,F,E四点共圆,是解答本题的关键.