已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l′过点P且垂直于l，交y轴于点B、（1）

网友回答

解：（1）∵2a=4，=，∴a=2，c=1，b=．
∴椭圆的方程为+=1．
（2）设点P（x0，y0）（x0≠0，y0≠0），
直线l的方程为y-y0=k（x-x0），代入+=1，
整理，得（3+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（y0-kx0）2-12=0．
∵x=x0是方程的两个相等实根，
∴2x0=-，解得k=-．
∴直线l的方程为y-y0=-（x-x0）．
令x=0，得点A的坐标为（0，）．
又∵+=1，∴4y+3x0=12．
∴点A的坐标为（0，）．
又直线l′的方程为y-y0=（x-x0），
令x=0，得点B的坐标为（0，-）．
∴以AB为直径的圆的方程为x?x+（y-）?（y+）=0．整理，得x2+y2+（-）y-1=0．
令y=0，得x=±1，
∴以AB为直径的圆恒过定点（1，0）和（-1，0）．
解析分析：（1）依题意根据长轴长求得a，根据离心率求得c，进而根据a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．（2）设点P（x0，y0），进而表示出直线l的方程，代入椭圆方程消去y，根据x=x0是方程的两个相等实根，求得x0与k的关系式，求得k的表达式，代入直线方程，令x=0，得到点B的坐标，表示出以AB为直径的圆的方程整理后令y=0求得x，进而求得圆恒过的点．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及了椭圆的标准方程，椭圆与圆，椭圆与直线的关系，综合考查了学生对圆锥曲线知识的理解和运用．