请考生注意：重点高中学生只做（1）、（2）两问，一般高中学生只做（1）、（3）两问．
已知P是圆上任意一点，点F2的坐标为（1，0），直线m分别与线段F1P、F2P交于M、N两点，且．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为k的直线l与曲线C交于P、Q两点，若（O为坐标原点）．试求直线l在y轴上截距的取值范围；
（3）是否存在斜率为的直线l与曲线C交于P、Q两点，使得（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，否则说明理由．
网友回答
解：（1）∵，∴点N是线段PF2的中点
∵，
∴，化简可得
∴NM⊥PF2，可得MN是线段PF2的垂直平分线
∴=，可得+==4
因此，点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，长轴2a=4，焦距2c=1，可得b2=a2-c2=3
椭圆方程为+=1，即为点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+n，与椭圆+=1消去y，得（3+4k2）x2+8knx+4n2-12=0
可得根的判别式△=64k2n2-16（3+4k2）（4n2-12）＞0，化简得4k2-n2+3＞0…①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=
∵
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（k1x+n）（k2x+n）=0，（1+k2）x1x2+kn（x1+x2）+n2=0
∴-（1+k2）+?kn+n2=0，整理得12k2=7n2-12…②
①②联解，得n2，再由②知7n2≥12，可得n≤-或n≥
故直线l在y轴上截距的取值范围是（-∞，-]∪[，+∞）
（2）设直线l的方程为y=x+n，与椭圆+=1消去y，得x2+nx+n2-3=0
可得根的判别式△=n2-4（n2-3）＞0，化简得n2＜4…①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-n，x1x2=n2-3
∵
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（x+n）（x+n）=0，x1x2+n（x1+x2）+n2=0
∴（n2-3）+n（-n）+n2=0，整理得n2=…②
对照①②可得，n=±
所以存在直线l的方程：y=x+或y=x-，使得．
解析分析：（1）根据题意，可得MN是线段PF2的垂直平分线，所以点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，结合题中数据不难得到轨迹C的方程；（2）设直线l的方程为y=kx+n，与椭圆方程联解消去y，再结合根与系数的关系将化为关于k、n的表达式，整理得12k2=7n2-12，最后用根的判别式建立不等式并解之，即可得到直线l在y轴上截距的取值范围；（3）设直线l的方程为y=x+n，与椭圆方程联解消去y，再结合根与系数的关系将化为关于k、n的表达式，整理得n2=，结合根的判别式大于0，即可得n=±，从而得到符合题意的直线l的方程．
点评：本题以向量的运算为载体，求曲线的轨迹方程，并且探索直线的存在性，着重考查了向量的数量积运算、求轨迹方程的一般方法和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．