解答题设数列{an}的前n项和为Sn，且an=2-2Sn
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=?an，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn；
（3）是否存在自然数m使得＜Tn对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
网友回答
解：（1）由an=2-2Sn，令n=1，则a1=2-2S1，又S1=a1，所以a1=
当n≥2时，由an=2-2Sn，可得an-an-1=-2（Sn-Sn-1）=-2an，即=
所以{an}是以a1=为首项，为公比的等比数列，于是an=2?；
（2）bn=?an=，∴Tn=+2?+…+①
∴Tn=1?+…++②
①-②可得Tn=++…+-=-
∴Tn=
（3）Tn+1-Tn=bn+1=＞0，∴{Tn}单调递增，∴Tn≥T1=c1=
∵Tn=＜，∴≤Tn＜
使得＜Tn对一切n∈N*恒成立，则
∴3≤m＜
∵m是自然数，
∴m=3．解析分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{an}是等比数列，从而可求通项公式；（2）利用错位相减法，可求数列的和；（3）先确定≤Tn＜，再根据＜Tn对一切n∈N*恒成立，建立不等式，即可求得m的值．点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，求得数列的通项与和是关键．