如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是A1B1、CC1的中点，过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G..（Ⅰ）求证：EG∥D1F；（Ⅱ）求二面角C1-D1E-F的余弦值；（Ⅲ）求正方体被平面D1EGF所截得的几何体ABGEA1-DCFD1的体积．
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证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1
平面D1EGF∩平面ABB1A1=EG，平面D1EGF∩平面DCC1D1=D1F，
∴EG∥D1F．
解：（Ⅱ）如图，以D为原点分别以DA、DC、DD1为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有
D1（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴=（2，1，0），=（0，2，-1）
设平面D1EGF的法向量为=（x，y，z）
则由?=0，和?=0，得，
取x=1，得y=-2，z=-4，∴=（1，-2，-4）
又平面ABCD的法向量为（0，0，2）
以二面角C1-D1E-F的平面角为θ，
则cosθ=||=
故截面D1EGF与底面ABCD所成二面角的余弦值为．
解：（Ⅲ）设所求几何体ABGEA1-DCFD1的体积为V，
∵△EGB1∽△D1FC1，D1C1=2，C1F=1，
∴EB1=D1C1=1，B1G=C1F=，
∴=EB1?B1G=?1?=，
=D1C1?C1F=?2?1=1
故V棱台D1FC1-EGB1=
∴V=V正方体-V棱台D1FC1-EGB1=23-=．
解析分析：（I）根据正方体的几何特征及面面平行的性质定理，易证得EG∥D1F；
（Ⅱ）以D为原点分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面D1EGF的法向量和平面ABCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到