已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求实数m的取值范围．

网友回答

解：（Ⅰ）证明：由柯西不等式得[a2++]?[12+22+32]≥（a+b+c）2，…2分即 ≥（a+b+c）2，∴．…4分（Ⅱ）由已知得a+b+c=2m-2，，∴14（1-m）≥（2m-2）2，∴2m2+3m-5≤0，∴-≤m≤1．…6分又 ≥0，∴m≤1．综上可得，-≤m≤1，即实数m的取值范围为[-，1]．…7分

解析分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得 ≥（a+b+c）2，由此变形证得要证的不等式．（Ⅱ）由已知可得14（1-m）≥（2m-2）2，化简得 2m2+3m-5≤0，求得-≤m≤1．再由 ≥0，可得 m≤1．综合可得实数m的取值范围．

点评：本题主要考查利用柯西不等式证明不等式，一元二次不等式的解法，属于中档题．