发布时间：2021-02-18 16:58:05
(1)设{bn}是项数为7的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且b1=2,b4=11.依次写出{bn}的每一项.
(2)设{cn}是项数为2k-1(正整数k＞1)的“对称数列”,其中ck,ck+1,…,c2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列.记{cn}各项的和为S2k-1,当k为何值时,S2k-1取得最大值?并求出S2k-1的最大值.
(3)对于确定的正整数m＞1,写出所有项数不超过2m的“对称数列”,使得1,2,22,…,2m-1依次是该数列中连续的项;当m＞1 500时,求其中一个“对称数列”前2 008项的和S2008.
(文)如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足条件a1=am,a2=am-1,…,am=a1,即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.
(1)设{bn}是7项的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且b1=2,b4=11.依次写出{bn}的每一项;
(2)设{cn}是49项的“对称数列”,其中c25,c26,…,c49是首项为1,公比为2的等比数列,求{cn}各项的和S;
(3)设{dn}是100项的“对称数列”,其中d51,d52,…,d100是首项为2,公差为3的等差数列,求{dn}前n项的和Sn(n=1,2,…,100).
答案：(理)解：(1)设{bn}的公差为d,则b4=b1+3d=2+3d=11,解得d=3,
∴数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2.
(2)S2k-1=c1+c2+…+ck-1+ck+ck+1+…+c2k-1=2(ck+ck+1+…+c2k-1)-ck,
S2k-1=-4(k-13)2+4×132-50,∴当k=13时,S2k-1取得最大值,
S2k-1的最大值为626.
(3)所有可能的“对称数列”是:
①1,2,22,…,2m-2,2m-1,2m-2,…,22,2,1;
②1,2,22,…,2m-2,2m-1,2m-1,2m-2,…,22,2,1;
③2m-1,2m-2,…,22,2,1,2,22,…,2m-2,2m-1;
④2m-1,2m-2,…,22,2,1,1,2,22,…,2m-2,2m-1.
对于①,当m≥2 008时,S2008=1+2+22+…+22007=22008-1.
当1 500＜m≤2 007时,
S2008=1+2+…+2m-2+2m-1+2m-2+…+22m-2009=2m-1+2m-1-22m-2009=2m+2m-1-22m-2009-1.
对于②,当m≥2 008时,S2008=22008-1.当1 500＜m≤2 007时,S2008=2m+1-22m-2008-1.
对于③,当m≥2 008时,S2008=2m-2m-2008.当1 500＜m≤2 007时,S2008=2m+22009-m-3.
对于④,当m≥2 008时,S2008=2m-2m-2008.当1 500＜m≤2 007时,S2008=2m+22008-m-2.
(文)解：(1)设数列{bn}的公差为d,则b4=b1+3d=2+3d=11,解得d=3,∴数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2.
(2)S=c1+c2+…+c49=2(c25+c26+…+c49)-c25=2(1+2+22+…+224)-1=2(225-1)-1=226-3=67 108 861.
(3)d51=2,d100=2+3×(50-1)=149.由题意得d1,d2,…,d50是首项为149,公差为-3的等差数列.
当n≤50时,Sn=d1+d2+…+dn=149n+(-3)=n2+n.
当51≤n≤100时,Sn=d1+d2+…+dn=S50+(d51+d52+…+dn)
=3 775+2(n-50)+×3=n2n+7 500.
综上所述,Sn=