发布时间：2021-02-18 16:57:43
(1)求实数t的取值范围；
(2)是否存在实数t，使得线段AB(包括两端点)与直线x=1相交?若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
(文)已知函数f(x)=mx3-x的图像上，以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为．
(1)求m，n的值；
(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成?如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由。
(3)求证：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R，t＞0)．
答案：(理)(1)f′(x)=9+
依题意可知，a＞0，b＞0，f′(a)=f′(b)=0，a≠b，
∴a、b为f′(x)=0的两个正根
∴
又A=(-6t)2-4×9×2t=36t(t-2)＞0，
∴t＞2或t＜2(不合题意)，故得t＜2．
(2)依题意得(a-1)(b-1)≤0ab-(a+b)+1≤0+1≤0t≥，符合t＞2．故当t≥时，线段AB与直线x=1相交．
(文)(1)求导数，有f′(x)=3mx2-1．
依题意得tan=f′(1)，即1=3m-1，m=，
∴f(x)=x3-x，又f(1)=n，故n=．
(2)令f′(x)=2x2-1=0，得x=.
当-1≤x＜时，f′(x)=2x2-1＞0；
当＜x≤3时，f′(x)=2x2-1＜0；
当＜x＜时，f′(x)=2x2-1＜0．
又f(-1)=，f()=,f()=，f(3)=15．
因此，当x∈[-1，3]时，≤f(x)≤15
故要使得不等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1991=2006．
所以，存在最小的正整数k=2006使得不等式f(x)≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立．
(3)解法一：|f(sinx)+f(cosx)|
=|(sin3x-sinx)+(cos3x-cosx)|
=|(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|
=|(six+cosx)[(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]|
=|sinx+cosx|·|sinxcosx|
=|sinx+cosx|3
=|sin(x+)|2≤.
又∵t＞0，∴t+≥，t2+≥1．
∴2f(t+)=2(t+)[]≥.
综上可得，|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)，x∈R，t＞0．
解法二：由(2)知，函数f(x)在[-1，]上是增函数；在[]上是减函数；在[，1]上是增函数．
又因为f(-1)=，f()=，f()=，f(1)=．
所以，当x∈[-1，1]时，≤f(x)≤，
即|f(x)|≤．
因为sinx，cosx∈[-1，1]，所以|f(sinx)|≤，|f(cosx)|≤
所以|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤+≤.
又因为t＞0，所以t+≥＞1且函数f(x)在[1，+∞)上是增函数．
所以2f(t+)≥2f()=.
综上可知|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)，x∈R。