如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是．A.B.C.D.

网友回答

C
解析分析：如图，设D为BC中点，则?PD⊥BC，PD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面PBC，则 PE⊥面AMN，PE⊥AE．设底面边长为2，侧棱长为a，通过解三角形的方法，解得a=，设O为底面△ABC中心，连接OB，则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角，在△POB中求出?tan∠PBO．

解答：如图，设D为BC中点，则?PD⊥BC，PD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面PBC，则 PE⊥面AMN，PE⊥AE．设底面边长为2，侧棱长为a，在△PBC中，PD2=a2-1，PE2=PD2=，ME=MN=．在△PAB中，由余弦定理，cos∠APB==，代入数据化简得=，AM2=，在△PAE中，由勾股定理，得出 PA2=AE2+PE2=AM2-ME2+PE2，即a2=-+，解得a2=3，a=设O为底面△ABC中心，连接OB，则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角，在△POB中，BO=，由勾股定理，PO2=PB2-BO2=，PO=，所以tan∠PBO==，三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是．故选C．

点评：本题考查线面角的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．