从双曲线x^2-y^2=1上的一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段ON的中点P的轨迹方程.

网友回答

设 Q 坐标 (x0,y0)
x + y = 2 斜率为 -1
所以 与其垂直的直线 ON 斜率为 1
ON 方程为y - y0 = x - x0
联立y-y0 = x- x0
x + y = 2解出 N 点坐标
x = 1 + (x0 -y0)/2
y = 1 + (y0 -x0)/2
所以 P 点坐标为
x = [1 + (x0 -y0)/2 + x0]/2 = 1 + (3x0 -y0)/2
y = 1 + (3y0 -x0)/2
转化为3x0 -y0 = 2x -1
3y0 -x0 = 2y -1
解出x0 = (3x + y -2)/4
y0 = (3y + x -2)/4
(x0,y0)满足双曲线方程,所以
[(3x+y-2)/4]^2 - [(3y+x-2)/4]^2 = 1
(3x+y-2)^2 - (3y+x-2)^2 = 16
[(3x+y-2) + (3y+x-2)][(3x+y-2)-(3y+x-2)] = 16
4(x+y-1)* 2(x-y) = 16
(x+y-1)(x-y) = 2
x^2 - y^2 - x + y = 2
(x -1/2)^2 - (y -1/2)^2 = 2
此为双曲线方程,其特点为
1）左右开口
2）水平方向对称轴 x = 1/2
3) 垂直方向对称轴 y = 1/2
4) 左支顶点为 x=1/2 - √2,y=1/2
5）右支顶点为 x=1/2 + √2,y=1/2
你所关心的 x的取值范围：
x ≤1/2 - √2 和 x ≥ 1/2 + √2