如图,在边长为12个单位的正方形ABCD中,动点P从点B出发,以每秒3个单位的速度沿正方形的边按B→C→D→A运动;动点Q同时从点C出发,以每秒2个单位的速度沿正方形的边按C→D→A运动,到达点A后停止运动,设运动时间为t(秒);
(1)直接写出:当t的取值在什么范围时,点P、点Q在正方形的同一条边上运动?
(2)若点P在BC边上运动,且AP=AQ,试求t的值;
(3)在整个运动过程中(不包括起点),要使△APQ是直角三角形,试求出所有符合条件的t的值.
网友回答
解:(1)当4≤t≤6或8≤t≤12时,
点P、点Q在正方形的同一条边上运动;
(2)在Rt△ABP与Rt△ADQ中,
∵AP=AQ,AB=AD,
∴Rt△ABP≌Rt△ADQ,
∴BP=DQ,即3t=12-2t,
∴t=;
(3)当0<t≤4时,∠PAQ不可能是直角;
若∠APQ=90°,可得:Rt△ABP∽Rt△PCQ,
则=,即=,
解得:t=;
若∠AQP=90°,如答图,可得:Rt△ADQ∽Rt△QCP,
则=,即=,
解得:t1=3,t2=12,而t2=12不合题意,舍去;
当4<t≤6时,只有当t=6时,点Q在点D处,点P在CD上,得△APQ是直角三角形;
当6<t<8时,△APQ必定是钝角三角形,不可是直角三角形;
综上所述,当t=或t=3或t=6时,△APQ是直角三角形.
解析分析:(1)根据点P和点Q的运动速度即可得到时间的取值范围;(2)根据AP=AQ,AB=AD,判定Rt△ABP≌Rt△ADQ,从而得到BP=DQ,即3t=12-2t,并据此求得t值;(3)分当0≤t≤4、4<t≤6、6<t<8三种情况讨论即可得到符合条件的t值.
点评:本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理及正方形的性质的知识,特别是题目中涉及的动点问题,对学生来说是一个难点.