发布时间：2021-02-18 16:57:54
(1)求{f(n)}、{g(n)}的通项公式;
(2)设cn=g［f(n)］,求数列{cn}的前n项和;
(3)已知=0,设F(n)=Sn-3n,是否存在整数m和M,使得对任意正整数n,不等式m＜F(n)＜M恒成立?若存在,分别求出m和M的集合,并求出M-m的最小值;若不存在,请说明理由.
(文)已知f(x)=x3-3x,g(x)=2ax2.
(1)当-≤a≤时,求证:F(x)=f(x)-g(x)在(-1,1)上是单调函数;
(2)若g′(x)≤〔g′(x)为g(x)的导函数〕在［-1,］上恒成立,求a的取值范围.
答案：(理)解:(1)取x=n,则f(n+1)=f(n).取x=0,得f(1)=f(0)=1.
故{f(n)}是首项为1,公比为的等比数列.∴f(n)=()n-1.
取x=n,y=1,得g(n+1)=g(n)+2(n∈N*),即g(n+1)-g(n)=2.
∴g(n)是公差为2的等差数列.又g(5)=13,因此g(n)=13+2(n-5)=2n+3,即g(n)=2n+3.
(2)∵cn=g[f(n)]=g[()n-1]=n()n-1+3,∴Sn=c1+c2+…+cn=1+2×()+3×()2+…+(n-1)()n-2+n()n-1+3n,Sn=+2×()2+…+(n-1)()n-1+n()n+n.
两式相减,得Sn=1++()2+…+()n-1-n()n+2n=-n()n+2n,
Sn=[1-()n]-()n+3n=-()n-1-()n-1+3n=.
(3)∵F(n)=Sn-3n=·()n-1,∴F(n+1)-F(n)=.
∴F(n)为增函数.故F(n)min=F(1)=1.∵=0,∴F(n)=.又·()n-1＞0,F(n)＜,∴1≤F(n)＜.因此,当m＜1,且M≥时m＜F(n)＜M恒成立.
∴存在整数m=0,-1,-2,-3,…,M=3,4,5,6,…,使得对任意正整数n,不等式m＜F(n)＜M恒成立.
此时,m的集合是{0,-1,-2,-3,…},M的集合是{3,4,5,6,…},且(M-m)min=3.
(文)(1)证明:∵F(x)=x3-3x-2ax2,∴F′(x)=2x2-4ax-3=2(x-a)2-2a2-3,F′(1)=-4a-1,F′(-1)=4a-1.
又∵-≤a≤,∴F′(-1)≤0,F′(1)≤0.导函数F′(x)在[-1,1]上的最大值为F′(1)或F′(-1),F′(x)在(-1,1)上总有F′(x)＜0,故F(x)=x3-3x-2ax2在(-1,1)上单调递减.
(2)解:g′(x)=4ax.
①当x=0时,不等式g′(x)≤显然成立.
②当-1≤x＜0时,不等式4ax≤可化为a≥.
而u(x)=(-1≤x＜0)的最大值为-,∴a≥-.
③当0＜x≤时,不等式4ax≤可化为a≤.
而当0＜x≤时,x(1-x)的最大值为,u(x)=(0＜x≤)的最小值为1.故a满足条件的取值范围是(-∞,1].综上所述,得-≤a≤1.