正弦定理和余弦定理证明

网友回答

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有
 　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）
 　　正弦定理(Sine theorem)　
（1）已知三角形的两角与一边,解三角形 　　
（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形 　　
（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 　　
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦.
证明　　步骤1 
　　在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H   
　　CH=a·sinB 
　　CH=b·sinA
 　　∴a·sinB=b·sinA 
　　得到 　　a/sinA=b/sinB
 　　同理,在△ABC中,b/sinB=c/sinC 
　　步骤2. 
　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
 　　如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
 　　作直径BD交⊙O于D. 
　　连接DA. 
　　因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
 　　因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠ACB.
 　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 
　　类似可证其余两个等式.
余弦定理的证明：
在任意△ABC中
 　　做AD⊥BC. 
　　∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a
 　　则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 
　　根据勾股定理可得：
 　　AC^2=AD^2+DC^2 
　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
 　　b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 
　　b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2 
　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
 　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
正弦定理和余弦定理证明(图1)