已知直线l：y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A、B两点．（1）求实数a的取值范围；（2）当实数a取何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．

网友回答

解（1）联立方程组．  
∵直线l与曲线C有两个交点A、B，
∴，即．            
∴实数a的取值范围是．      
（2）设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）．           
由（1）可知，．
∵以线段AB为直径的圆经过原点，
∴，即x1x2+y1y2=0．                         
又y1=ax1+1，y2=ax2+1，
∴x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0，
即，解得a=±1（都满足（1）求出的条件）    ∴a=±1时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．    

解析分析：（1）把直线与双曲线方程联立消去y，利用二次项非0，且判别式大于0求得a的范围．
（2）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，根据OA⊥OB，推断出y1y2=-x1x2．根据韦达定理表示出x1x2．进而根据直线方程表示出y1y2，代入y1y2=-x1x2．求得a．


点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力．