已知数列{an}中，a1=1，an=an-1+n（n≥2，n∈N*）．且bn=+λ为等比数列，
（Ⅰ）求实数λ及数列{bn}、{an}的通项公式；
（Ⅱ）若Sn为{an}的前n项和，求Sn；
（Ⅲ）令cn=，数列{cn}前n项和为Tn．求证：对任意n∈N*，都有Tn＜3．
网友回答
解：（Ⅰ）当n≥2，n∈N*时，，
∴，即，故λ=1时
有bn=2bn-1，而
bn=2?2n-1=2n，从而an=n?2n-n
（Ⅱ）Sn=1?2+2?22+…+n?2n-（1+2+…+n）
记Rn=1?2+2?22+…+n?2n
则Rn=1?22+2?23+…+n?2n+1
相减得：-Rn=2+22+23+…+2n-n?2n+1=
∴Sn=（n-1）2n+1-
（Ⅲ）
=
n≥2时，
=2+1-＜3
而T1==2＜3
∵?n∈N*，7n＜3．
解析分析：（Ⅰ）?由bn=+λ为等比数列，及an=an-1+n（n≥2，n∈N*）可求得λ及数列{bn}、{an}的通项公式；（Ⅱ）?由（Ⅰ）求得{an}的通项公式，利用分组求和和错位相减法求和，（Ⅲ）把数列{bn}的通项公式代入cn=中，放缩法证明都有Tn＜3．
点评：考查等比数列的定义和通项公式的求法，利用分组求和和错位相减法求和以及利用放缩法把不能求和的数列问题转化为可求和的数列问题，及裂项相消法求和，体现了转化的思想，此题运算量大，放缩法技巧性强，加大了试题的难度，属难题．