填空题给出定义:若m-<x≤m+(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数f(x)=x-{x}的四个命题:
①y=f(x)的定义域是R,值域是(,];②点(k,0)(k∈Z)是y=f(x)的图象的对称中心;③函数y=f(x)的最小正周期为1;④函数y=f(x)在(,]上是增函数;
则其中真命题是________.
网友回答
①③解析分析:根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域,然后根据解析式易用分析法求出函数的值域;根据f(2k-x)与f(x)的关系,可以判断函数y=f(x)的图象是否关于点(k,0)(k∈Z)对称;再判断f(x+1)=f(x)是否成立,可以判断③的正误;而由①的结论,易判断函数y=f(x)在 (,]上的单调性,但要说明④不成立,我们可以举出一个反例.解答:①中,令x=m+a,a∈(-,]∴f(x)=x-{x}=a∈(-,]所以①正确;②中∵f(2k-x)=(2k-x)-{2k-x}=(-x)-{-x}=f(-x)∴点(k,0)(k∈Z)是y=f(x)的图象的对称中心;故②错;③中,∵f(x+1)=(x+1)-{x+1}=x-{x}=f(x)所以周期为1,故③正确;④中,x=-时,m=-1,f(-)=x=时,m=0,f( )=所以f(-)=f( )所以④错误.故