解答题如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．
（I）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P．
（i）当点C在圆周上运动时，求P的最大值；
（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ（0°≤θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．
网友回答
解：（Ⅰ）因为AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA1⊥BC，
因为AB是圆O直径，所以BC⊥AC，又AC∩AA1=A，所以BC⊥平面A1ACC1，
而BC?平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．
（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 =AC?BC?r，
又因为AC2+BC2=AB2=4r2，
所以 =2r2，当且仅当 时等号成立，
从而V1≤2r3，而圆柱的体积V=πr2?2r=2πr3，
故p=，
当且仅当 ，即OC⊥AB时等号成立，
所以p的最大值是 ．
（ii）p取最大值时，OC⊥AB，
于是以O为坐标原点，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则C（r，0，0），B（0，r，0），B1（0，r，2r），
因为BC⊥平面A1ACC1，
所以 是平面A1ACC1的一个法向量，
设平面B1OC的法向量 ，
由 ，
故 ，
取z=1得平面B1OC的一个法向量为 ，
因为0°＜θ≤90°，
所以
=
=
=．解析分析：（I）欲证平面A1ACC1⊥平面B1BCC1，关键是找线面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）（i）根据AC2+BC2=AB2为定值可求出V1的最大值，从而得到p=的最大值．（ii）p取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面A1ACC1的一个法向量与平面B1OC的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值．点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想．