如图,在公园中,相距40米的两个观景台A、B之间有一个圆形湖泊,它的圆心落在AB连线的中点O上,半径为10米.现要修建一条连接A、B的观景长廊,计划沿AC、、DB的路

发布时间:2020-08-04 15:53:02

如图,在公园中,相距40米的两个观景台A、B之间有一个圆形湖泊,它的圆心落在AB连线的中点O上,半径为10米.现要修建一条连接A、B的观景长廊,计划沿AC、、DB的路线修建,其中AC、DB分别与圆O相切于点C、D.
(1)求AC的长;(结果取精确值)
(2)求这个观景长廊的全长.
(取1.732,π取3.14,结果精确到0.1米)

网友回答

解:连接OC、OD.
(1)∵AC是⊙O的切线,
∴OC⊥AC.
∵AO=AB=20,OC=10,
∴在Rt△ACO中,根据勾股定理,得
AC=10;

(2)在Rt△ACO中,∵AO=20,OC=10,
∴∠AOC=60°;
同理,可得BD=10,∠BOD=60°,
∴∠DOC=60°,
∴=,
∴路线全长为AC++BD=20+≈45.1m.
解析分析:(1)连接OC、OD.利用切线的性质推知△AOC是直角三角形,在直角三角形中根据勾股定理求得AC=10;(2)观景长廊的全长=AC++BD.根据(1)的解答原理和结果知AC=BD=10,然后利用直角三角形中的边角关系及平角的定义求得∠DOC=60°,最后由弧长的计算公式求得的长度.

点评:本题考查了勾股定理、弧长的计算以及切线的性质.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
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