是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=O有有理数根？

网友回答

解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q2-4p2=n2，
规定其中n是一个非负整数．则（q-n）（q+n）=4p2．（5分）
由于1≤q-n≤q+n，且q-n与q+n同奇偶，故同为偶数，
因此，有如下几种可能情形：、、、、
消去n，解得．（10分）
对于第1，3种情形，p=2，从而q=5；
对于第2，5种情形，p=2，从而q=4（不合题意，舍去）；
对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．
又当p=2，q=5时，方程为2x2-5x+2=0，它的根为，它们都是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数．（15分）
解析分析：先设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q2-4p2=n2，再把此方程化为完全平方的形式，再根据q-n与q+n同为偶数列出关于n、p、q的方程组，用p表示出q，再根据q-n与q+n同为偶数而p．q为质数可知p=2，代入关于p、q的式子，求出符合条件的p、q的对应值，代入原方程求出方程的根，再根据有理数的概念进行解答即可．

点评：本题考查的是质数与合数的概念、根的判别式、奇数与偶数，涉及面较广，难度较大．