解答题已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为1的直线l交椭圆C于M、N两点，求|MN|的值．
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解：（Ⅰ）直线x-y+b=0与抛物线y2=4x联立，消去y得：x2+（2b-4）x+b2=0
∵直线x-y+b=0与抛物线y2=4x相切，
∴△=（2b-4）2-4b2=0，∴b=1，
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴a=b=
∴所求椭圆方程为；
（Ⅱ）将直线l：y=x-与椭圆方程联立，消去y可得3x2-2x-=0
设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=-
∴|AB|=|x1-x2|==解析分析：（Ⅰ）把抛物线和直线方程联立消去y，根据△=0求出b，再根据两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形得出a和b的关系式，求得a；（Ⅱ）将直线l：y=x-与椭圆方程联立，消去y，利用韦达定理，即可求|AB|．点评：本题考查直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查韦达定理的运用，属于中档题．