解答题设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．
（1）证明数列是等差数列；
（2）求数列{Sn}的前n项和Tn；
（3）设，数列{bn}的前n项和为Bn，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有成立，求m的最大值．
网友回答
解：（1）由Sn=2an-2n+1，
得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，
即an-2an-1=2n（n≥2）．
于是，
所以数列是公差为1的等差数列．…（2分）
（2）因为S1=2a1-22，
所以a1=4．
所以，
故an=（n+1）?2n．…（3分）
所以Sn=2an-2n+1=2（n+1）2n-2n+1=n?2n+1…（4分）
所以Tn=S1+S2+S3+…+Sn=1×22+2×23+3×24+…+n?2n+1…①
2Tn=1×23+2×24+3×25+…+n?2n+2…②…（6分）
由①-②得：…（7分）
所以Tn=22（1-2n）+n?2n+2=（n-1）?2n+2+4…（8分）
（2）因为=，
则．…（10分）
令，
则．
所以=．
即f（n+1）＞f（n），
所以数列{f（n）}为递增数列．…（12分）
所以当n≥2时，f（n）的最小值为．
据题意，，即．又m为整数，
故m的最大值为11．…（14分）解析分析：（1）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．所以an-2an-1=2n（n≥2）．由此能够证明数列是等差数列．（2）因为S1=2a1-22，所以a1=4.，故an=（n+1）?2n，Sn=n?2n+1，所以Tn=1×22+2×23+3×24+…+n?2n+1，由错位相减法能求出数列{Sn}的前n项和Tn．（2）因为=，则．令，能导出f（n+1）＞f（n），由此能求出m的最大值．点评：本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查数列的前n项和的求法，考查实数m的最大值的求法．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．