已知曲线C1：y=+e（e为自然对数的底数），曲线C2：y=2elnx和直线m：y=2x．（I）求证：直线m与曲线C1、C2都相切，且切于同一点；（II）设直线x=t

网友回答

解：（I）对于曲线C1：，设切点P（a，b），有∴a=e，故切点为P（e，2e），
切线：y-2e=2（x-e），即y=2x．所以直线m与曲线C1相切于点P（e，2e）
同理可证直线m与曲线C2也相切于点P（e，2e）．
（II）由题意易得M（t，），N（t，2elnt），P（t，2t）
∴由两点间的距离公式可得，|PN|=2t-2elnt，
∴f（t）=
=≥0
∴f（t）在[e-3，e3]上单调增，故ymax=f（e3）=e5-4e3+7e．
解析分析：（I）可设直线m：y=2x与曲线曲线C1：的切点为（a，b）再根据导数的几何意义可得f′（a）=2求出a再代入曲线方程求出b，同理求出与曲线C2的另一切点然后比较两切点是否是同一点即可得出结论．（Ⅱ）求出M，N，P点的坐标然后利用两点间的距离公式求出|MP|，|NP|即可求出f（t），最后要求最大值只须利用导数判断函数f（t）在区间[e-3，e3]上的单调性即可求出最大值．

点评：本题主要考查了利用导数的几何意义求切点坐标和利用导数判断函数的单调性然后求函数的最值．解题的关键是要理解导数的几何意义在解题中的连接作用和如何利用导数判断函数的单调性！