过圆C：（x-1）2+（y-1）2=1的圆心，作直线分别交x，y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成I、II、III、IV四个部分（如图），若这四部分图形面积满足①SI

网友回答

A
解析分析：由圆的方程得到圆心坐标和半径，根据四部分图形面积满足①S|+SIV=S||+S|||，得到SIV-SII=SⅢ-SI，第II，IV部分的面积是定值，所以SⅢ-SI为定值，所以得到满足①条件的直线有且仅有一条；把条件②SI+SII+SIII=SIV变形为SIV-SII=SI+SIII，第II，IV部分的面积是定值，得到SI+SIII为定值，并求出此定值，显然直线AB的斜率存在，设出直线AB的斜率为k，根据直线AB过C点，写出直线AB的方程，分别令x=0和y=0求出对应的y值与x值，得到A与B的坐标，进而表示出OA与OB的长，由四边形CEOF为边长为1的正方形，得到OE=OF=1，进而表示出BE及AF，表示出三角形BCE与三角形ACF的面积，又把扇形CEM与扇形CFN旋转为一个大扇形，根据直角三角形的两锐角互余得到大扇形的圆心角为直角，半径为1，求出此时大扇形的面积，用三角形BCE与三角形ACF的面积之和减去大扇形的面积即为SI+SIII，等于求出的定值，列出关于k的方程，整理后根据根的判别式大于0，得到方程有两个不相等的实数根，进而确定出满足题意的直线AB有两条，综上，得到分别满足①、②的直线AB的条数．

解答：解：∵圆C的方程为：（x-1）2+（y-1）2=1，∴圆心C坐标为（1，1），半径r=1，可得圆C与x轴及y轴相切，切点分别为E和F，连接CE及CF，由已知SI+SIV=SII+SIII，变形得：SIV-SII=SⅢ-SI，由图形可知第II，IV部分的面积分别为：S正方形OECF-S扇形ECF=1-和S半圆=，所以，SIV-SII为定值，即SⅢ-SI为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有1条，则满足条件①的直线AB有1条；由第II，IV部分的面积分别为：S正方形OECF-S扇形ECF=1-和S半圆=，由已知SI+SII+SIII=SIV，变为得：SIV-SII=SI+SIII=-1，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，由直线AB过C（1，1），∴直线AB的方程为：y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，令x=0，解得y=1-k，故OB=1-k，令y=0，解得x=，故OA=，SI+SIII=（S△BCE+S△ACF）-（S扇形MEC+S扇形NCF）=BE?CE+AF?CF-=（1-k-1）+（1--1）-=（-k-）-=-1，整理得：2k2+（4π-4）k+2=0，∵△=（4π-4）2-16=16π2-32π＞0，∴方程有两个不相等的实数解，即满足题意的k值有两解，则满足条件②的直线AB有2条，综上，分别满足①、②的直线AB各有1条；2条．故选A

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：扇形面积的求法，直线与坐标轴的交点坐标，阴影部分面积的求法，以及利用根的判别式判断一元二次方程解的情况，利用了转化的思想，是一道综合性较强的题．