解答题已知数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=2n+7-2an．
（1）求证：{an-2}为等比数列；
（2）是否存在实数k，使得an≤n3+kn2+9n对于任意的n∈N*都成立，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．
网友回答
解：（1）n=1时，a1=S1=2+7-2a1，解得a1=3．
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2-2an+2an-1，
即3an=2an-1+2，
∴，
∴{an-2}是首项为1，公比为的等比数列．
（2）由（1）知，
∴，
由2+（）n-1≤n3+kn2+9n，
得．
∴只需求出的最大值即可．
设，，，
∵n∈N*，∴f（n）单调递减．
∵
=，
∴g（n）＜g（n+1），
故g（n）单调递减．
=，
当n≥3时，h（n）＞h（n+1），
故n≥3时，h（n）单调递减．
∴n≥3时，随着n的增大而减小，
∵p（1）=-7，，，
∴p（n）的最大值为p（3）=-．
故k≥．解析分析：（1）由n=1，解得a1=3．由n≥2，得3an=2an-1+2，故，由此能够证明{an-2}是首项为1，公比为的等比数列．（2）由，知，由2+（）n-1≤n3+kn2+9n，得．故只需求出的最大值即可得到k范围．点评：本题考查等比数列的证明和数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是判断最大值时因解题能力差导致失误．解题时要认真审题，仔细解答，注意提高解题能力．