如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点M、N是AB上任意两点，且∠MCN=45°，点T为AB的中点．以下结论：①AB=AC；②CM2+TN2=N

网友回答

B

解析分析：此题要根据等腰三角形的性质求解，由于△ABC是等腰三角形，显然①的结论是成立的；②题中，可连接CT，利用勾股定理求证；③此题用通过构造全等三角形来求解，过C作∠DCN=∠BCN，且CD=CB，连接DN、DM，通过两步全等来判断结论是否正确；④分别表示出三个三角形的面积，然后判断它们是否符合题目给出的等量关系即可．

解答：解：①∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，故①正确；②连接CT；由勾股定理得：CM2-MT2=CT2，NC2-NT2=CT2，联立两式可得：CM2-MT2=NC2-NT2，即CM2+TN2=NC2+MT2；故②正确；③如图，过C作∠NCD=∠BCN，且CD=CB=AC，连接DM、DN；∵∠DCN=∠BCN，CD=BC，CN=CN，∴△DCN≌△BCN，得BN=DN，∠NDC=∠B=45°；∵∠MCN=45°，∠ACB=90°，∴∠ACM=∠DCM=45°-∠BCN=45°-∠DCN，又∵AC=DC，CM=CM，∴△ACM≌△DCM，得DM=AM，∠MDC=∠A=45°；∴∠MDN=45°+∠45°=90°，在Rt△MDN中，由勾股定理得：DM2+DN2=MN2，即AM2+BN2=MN2，故③正确；④S△ACM=AM?CT，S△BNC=BN?CT，S△MNC=MN?CT，∵AM+BN≠MN，∴S△ACM+S△BCN≠S△MNC，故④错误；因此正确的结论是①②③，故选B．

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质，难度适中．