解答题已知函数φ（x）=5x2+5x+1（x∈R），函数y=f（x）的图象与φ（x）的图象关于点（0，）中心对称．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）如果g1（x）=f（x），gn（x）=f[gn-1（x）]（n∈N，n≥2），试求出使g2（x）＜0成立的x取值范围；
（3）是否存在区间E，使E∩{x|f（x）＜0}=?对于区间内的任意实数x，只要n∈N且n≥2时，都有gn（x）＜0恒成立？
网友回答
（本小题满分13分）
解：（1）∵函数y=f（x）的图象与φ（x）的图象关于点（0，）中心对称
∴f（x）=1-φ（-x）=1-（5x2-5x+1）=5x-5x2
（2）由g2（x）=5g1（x）-5g12（x）＜0解得g1（x）＜0或g1（x）＞1
即5x-5x2＜0或5x-5x2＞1
解得x＜0或x＞1或＜x＜
（3）由{x|f（x）＜0}={x|x＜0或x＞1}，
又（，）∩{x|x＜0或x＞1}=?，，
当x∈（，）时，g2（x）＜0，g3（x）=5g2（x）-5g22（x）＜0，
∴对于n=2，3时，E?（，），命题成立．
以下用数学归纳法证明E?（，），对n∈N，且n≥2时，都有gn（x）＜0成立
假设n=k（k≥2，k∈N）时命题成立，即gk（x）＜0，
那么gk+1（x）=f[gk（x）]=5gk（x）-5gk2（x）＜0即n=k+1时，命题也成立．
∴存在满足条件的区间E?（，）．解析分析：（1）根据函数y=f（x）的图象与φ（x）的图象关于点（0，）中心对称可得f（x）=1-φ（-x），可求出所求；（2）由g2（x）=5g1（x）-5g12（x）＜0求出g1（x）的范围，然后可求出x的取值范围；（3）根据（，）∩{x|f（x）＜0}=?，验证n=2，3是否成立，然后利用数学归纳法进行证明即可．点评：本题主要考查了函数的对称性，以及不等式的解法和数学归纳法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．