解答题在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F在A1B1上．
（1）若DE⊥CF，求A1F的长；
（2）求二面角C-C1D-E的余弦值．
网友回答
解??（1）以D点为坐标原点，DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则
D（0，0，0），E（1，2，0），C1（0，2，2），C（0，2，0），，，
设A1F=x，得F（2，x，2），=（2，x-2，2），
当DE⊥CF时，，即2+2（x-2）=0，
解之得x=1，所以A1F的长为1．???…（5分）
（2）设平面DEC1的一个法向量为，
由得2y1+2z1=0，
再由得x1+2y1=0，
令y1=-1得x1=2，z1=1，所以平面DEC1的一个法向量为．????????????????????????????…（7分）
易得平面DCC1的一个法向量为，…（8分）
设二面角C-C1D-E的平面角为θ，则=，
所以二面角C-C1D-E的余弦值为．?…（10分）解析分析：（1）以D点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，可得D、E、C1、C各点的坐标，从而得到和的坐标，设A1F=x，得=（2，x-2，2）．DE⊥CF，利用垂直向量的数量积为零建立关于x的方程组，解之即可得到A1F的长；（2）设平面DEC1的一个法向量为，由与建立关于x1、y1、z1的方程组，并取x1=2，得，再根据平面DCC1的一个法向量为，计算出向量、夹角的余弦之值，即可得到二面角C-C1D-E的余弦值．点评：本题给出正方体，探究了异面直线的垂直并求二面角的大小，着重考查了正方体的性质和利用空间向量计算线线角和面面角等知识，属于中档题．