解答题已知椭圆的离心率为e=，且过点（）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．
网友回答
解：（Ⅰ）∵e=，∴c=a，∴b2=a2-c2=，故所求椭圆为：．
又椭圆过点 （），∴，∴a2=4，b2=1，
∴．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x0，y0）
将直线y=kx+m与 ?? 联立得? （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∵△=16（4k2+1-m2?）＞0，即 4k2+1-m2＞0? ①，
又x0==，y0==，又点[-1，0]不在椭圆OE上．
依题意有 =，整理得3km=4k2+1? ②． 由①②可得k2＞，
∵m＞0，∴k＞0，∴k＞，
设O到直线l的距离为d，
则S△OPQ==??
==．
当 =?时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k=，m=，
∴直线方程为 y=x+．解析分析：（Ⅰ）根据e=，可得b2=，故所求椭圆为，把点（）代入椭圆的方程可得a2=4，从而得到椭圆的方程．（Ⅱ）将直线y=kx+m与 联立，得到 4k2+1-m2＞0? ①，由中点公式及=，得到整理得3km=4k2+1? ②，由①②可得k2＞，又? S△OPQ为，故当=?时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k=，m=，从而得到l的方程．点评：本题考查求椭圆的标准方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，求出k值，是解题的难点和关键．