解答题己知函数f（x）=（x≠-1）的反函数是f-1（x
），设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有{an}=成立，且bn=f-1（an）
（I）求数列{an}与数列{bn}的通项公式
（II）设数列{bn}的前n项是否存在使得Rn≥4k成立？若存在，找出一个正整数k：若不存在，请说明理由：
（III）记cn=b2n-b2n-1（n∈N），设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜．
网友回答
解：（Ⅰ）根据题意得，f-1（x）=，
于是由an=得，an=5Sn+1，
当n=1时，a1=5s1+1∴a1=-
又∵an=5sn+1an+1=5an+1+1∴an+1-an=5an+1=-
∴数列{an}是首项为a1=-，公比为q=-的等比数列，∴an=，
bn=（n∈N*）
（Ⅱ）不存在正整数k，使得Rn≥4k成立．
证明：由（I）知bn==4+
∵b2k-1+b2k=8++=8+-=8-＜8
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N*）
∴Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-1+b2m）＜8m+4n
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N*）
∴Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-3+b2m-2）+b2m-1=8m-4=4n
∴对于一切的正整数n，都有Rn＜4k∴不存在正整数k，使得Rn≥4k成立．
（Ⅲ）∵cn=b2n-b2n-1=-=+=（n∈N），
又 ，∴，当n=1时，，
当n≥2时，
解析分析：（I）先根据题意求出an与Sn的关系，然后利用递推关系进行化简变形得到数列{an}是首项为a1=-，公比为q=-的等比数列，从而求出数列{an}与数列{bn}的通项公式；（II）当n为偶数时，设n=2m（m∈N*），Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-1+b2m）＜8m+4n，当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N*），则Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-3+b2m-2）+b2m-1=8m-4=4n，从而对于一切的正整数n，都有Rn＜4k则不存在正整数k，使得Rn≥4k成立；（III）根据bn的通项公式，计算出cn的通项公式，再比较Tn与 的大小．点评：本题是一个综合性很强的题目，主要考查了数列与函数的综合应用以及反函数和数列不等式的综合应用，属于难题，同时考查了计算能力，分析解决问题的能力．