如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；（Ⅱ）求二面角

网友回答

法一：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，
在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2-2AA1?Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，
∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AO
∴A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则
A（0，-1，0），B（，0，0），C（0，1，0），
D（-，0，0），A1（0，0，）?????????????????????????…（2分）
∵，，
∴
∴BD⊥AA1…（4分）
（Ⅱ）解：∵OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量
设⊥平面AA1D，，则由
得到，∴…（6分）
∴
所以二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是…（8分）
（Ⅲ）解：假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1
设，则得…（9分）
设⊥平面DA1C1，，则由
得到，∴…（10分）
又因为平面DA1C1，则?，∴，∴λ=-1
即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP??????????…（13分）
法二：（Ⅰ）证明：过A1作A1O⊥AC于点O，
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD
又底面为菱形，所以AC⊥BD
∵A1O∩AC=O
∴BD⊥平面AA1O
∵AA1?平面AA1O
∴AA1⊥BD…（4分）
（Ⅱ）解：在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°，∴AO=AA1?cos60°=1
所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE，故∠DEO为二面角D-AA1-C的平面角??????????????????…（6分）
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2，∴AO=1，DO=
在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠EAO=DE=
∴cos∠DEO=
∴二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是…（9分）
（Ⅲ）解：存在这样的点P，连接B1C，
∵A1B1ABDC，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D∥B1C
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP???????????????????????…（11分）
∵B1BCC1，…（12分）
∴BB1CP
∴四边形BB1CP为平行四边形
∴BP∥B1C，∴BP∥A1D
∵BP?平面DA1C1，A1D?平面DA1C1，
∴BP∥平面DA1C1??????????????????????…（13分）

解析分析：法一：（Ⅰ）连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，可证A1O⊥底面ABCD，从而建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，证明向量的数量积为0 即可得到BD⊥AA1；（Ⅱ）确定平面AA1C1C、平面AA1D的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D-A1A-C的平面角的余弦值；（Ⅲ）解：假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，求出平面DA1C1的法向量，利用数量积为0，即可求得结论．法二：（Ⅰ）先证明BD⊥平面AA1O，即可证得AA1⊥BD；（Ⅱ）过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则∠DEO为二面角D-AA1-C的平面角，求出OE、DE，即可求得二面角D-A1A-C的平面角的余弦值；（Ⅲ）存在这样的点P，连接B1C，在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，可得四边形BB1CP为平行四边形，进而利用线面平行的判定可得结论．

点评：本题考查线面位置关系，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行、垂直的判定方法，正确作出面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．