设数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1=1．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}的前n项和为Tn，且，证明：对一切正整数

网友回答

（Ⅰ）解：∵（n∈N*），且a1=1，
∴，，∴a2=4，
，，∴a3=12；
（Ⅱ）解：由①，
得，（n∈N*，n≥2）②，
①-②得：，即，
检验知a1=1，a2=4满足．
∴．
变形可得．
∵，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴，
则；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，代入
得bn=，
∵＞0，
∴（n+1）?2n+2＜22n+1
又∵2n+1＜（n+1）?2n+2，
∴2n+1＜（n+1）?2n+2＜22n+1，
则
∴
∴
∴
即
∴
∴．

解析分析：（Ⅰ）在给出的递推式中，分别取n=1，2，把a1=1代入即可求得a2，a3的值；（Ⅱ）根据给出的递推式，取n=n-1可得另一递推式，两式作差后可得，把此等式两边同时除以2n，得到新数列是以1为首项，1为公差的等差数列，写出其通项公式，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的an代入，整理后得bn=，把该式放大缩小后利用等比数列的求和公式可证明．

点评：本题考查了由递推式确定等比关系，考查了等比数列的前n项和公式，考查了利用放缩法证明不等式，解答此题的关键是不等式的证明，对数列{bn}通项的放缩体现了学生观察问题和分析问题的能力，此题是有一定难度题目．