已知椭圆的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M，直线F1M与抛物线C相切．（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M的坐标；（Ⅱ）过F2作抛物

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解：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距c=，（1分）
所以椭圆焦点为F1（-1，0），F2（1，0），（2分）
又抛物线C的焦点为，∴，∴C：y2=4x，（3分）
设M（x1，y1），则y12=4x1，直线F1M的方程为，（4分）
代入抛物线C得y12（x+1）2=4x（x1+1）2，即4x1（x+1）2=4x（x1+1）2，
∴x1x2-（x12+1）x+x1=0，∴F1M与抛物线C相切，
∴△=（x12+1）2-4x12=0，∴x1=1，M（1，±2），（7分）
（Ⅱ）设AB的方程为x=ty+1，代入y2=4x，得y2-4ty-4=0，（8分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，（9分）
x1+x2=t（y1+y2）+2=4t2+2，，（10分）
所以F（2t2+1，2t），将t换成-得N（），（12分）
由两点式得FN的方程为，（13分）
当y=0时x=3，所以直线FN恒过定点（3，0）．（13分）
解析分析：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距c=，椭圆焦点为F1（-1，0），F2（1，0），抛物线C的焦点为，故，由此能求出抛物线C的方程和点M的坐标．（Ⅱ）设AB的方程为x=ty+1，代入y2=4x，得y2-4ty-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理和两点式方程能导出直线FN恒过定点（3，0）．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用和韦达定理的合理运用．