若椭圆的中心在原点,一个焦点为（0,5根号2）直线y=3x-2与它相交所得的中点横坐标为1/2,求这个椭圆的方
网友回答
根据题意设所求椭圆的方程为:
y²/a²+x²/b²=1(a＞b＞0)?
∵c²=(5√2)² ∴a²=b²＋50?∴y=3x-2,y²/(b²+50)+x²/b²=1
消去y得：10(b²＋5)x²-12b²x-b²(b²＋46)=0?
设直线与椭圆相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则x1、x2是以上方程的根且有Δ＞0?
即5b³＋2b²＋43b＋100＞0(*)?
∴x1＋x2=6b²/(5(b²+5))
∴(x1+x2)/2=3b²/(5(b²+5))=1/2
∴b²=25,∴a²=75?
将b²=25代入*中成立?
∴所求椭圆的方程为：y²/75+x²/25=1