解答题设函数f（x）=，其中实数m为常数．（Ⅰ）求证：m=0是函数f（x）为奇函数的充

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（Ⅰ）证明：证法一：充分性：若m=0，则f（x）=．…（1分）
①f（-0）=-f（0）=0；…（2分）
②当x≠0时，
f（-x）=（-x）ln|-x|=-xln|x|=-f（x）．∴函数f（x）为奇函数．…（3分）
必要性：若函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（ x）恒成立，
①当x=0时，易知成立，
②当x≠0时，f（-x）=（-x）ln|-x|+m（-x）2，f（x）=xln|x|+mx2，
∴m（-x）2=-mx2，2mx2=0，m=0．
故m=0是函数f（x）为奇函数的充要条件．…（6分）
（Ⅰ）证法二：因为f（-0）=-f（0）=0，所以函数f（x）为奇函数的充要条件是?x≠0，f（-x）=-f（x）??x≠0，（-x）ln|-x|+m（-x）2=-xln|x|-mx2??x≠0，2mx2=0?m=0．
故m=0是函数f（x）为奇函数的充要条件．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，则f（x）=，
①当xy=0时，z=yf（x）+xf（y）=0．…（7分）
②当x，y∈（0，e]时，z=yf（x）+xf（y）=yxlnx+xylny=xyln（xy）=f（xy），…（8分）
设t=xy∈（0，e2]，z=f（t）=tlnt，f'（t）=lnt+1．…（9分）
f（t），f'（t）随t的变换而变化的情况如下：
tf'（t）-0+f（t）单调递减极小值单调递增…（10分）
f（t）的极小值，也为最小值，（11分）
所以．…（12分）解析分析：（Ⅰ）m的取值应使得任意x≠0，恒有f（-x）=-f（ x），可以将m=0代入后从充分、必要两个方面验证．或利用函数恒成立求出m的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）当xy=0时，z=yf（x）+xf（y）=0，当x，y∈（0，e]时，z=yf（x）+xf（y）=yxlnx+xylny=xyln（xy）=f（xy），设t=xy∈（0，e2]，换元后z=f（t）=tlnt，利用函数与导数的关系求解．点评：本题考查函数奇偶性的判断，函数恒成立参数求解，分段函数．利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，属于中档、常规题．涉及到了换元、分类讨论的思想方法．