已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），点（an，Sn）在直线y=2x-3n上．
（Ⅰ）求证：数列{an+3}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）数列{an}中是否存在成等比数列的三项？若存在，求出一组合适条件的三项；若不存在，说明理由．
网友回答
解：（Ⅰ）由题意知Sn=2an-3n
∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-3（n+1）-2an+3n∴an+1=2an+3（2分）
∴an+1+3=2（an+3）
∴，又a1=S1=2a1-3a1=3
∴a1+3=6（4分）
∴数列{an+3}成以6为首项以2为公比的等比数列
（Ⅱ）由（I）得an+3=b?2n-1=3?2n
∴an=3?2n-3
（Ⅲ）设存在s、p、r∈N*且s＜p＜r使as，ap，ar成等差数列
∴2ap=as+ar∴2（3?2p-3）=3?2s-3+3?2r-3∴2p+1=2s+2r（9分）
即2p-s+1=1+2r-s（*）
∵s、p、r∈N*且s＜p＜r
∴2p-s+1为偶数，1+2r-s为奇数
∴（*）为矛盾等式，不成立故这样的三项不存在（12分）
解析分析：（Ⅰ）由“点（an，Sn）在直线y=2x-3n上．”可得Sn=2an-3n，由通项和前n项和关系可得an+1=2an+3，变形为an+1+3=2（an+3）符合等比数列的定义．（Ⅱ）由（I）根据等比数列通项公式求解有an+3=b?2n-1=3?2n整理可得an=3?2n-3（Ⅲ）先假设存在s、p、r∈N*且s＜p＜r使as，ap，ar成等差数列根据等差中项有2ap=as+ar，再用通项公式展开整理有2p-s+1=1+2r-s∵因为s、p、r∈N*且s＜p＜r所以2p-s+1为偶数，1+2r-s为奇数，奇数与偶数不会相等的．所以不存在．
点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了通项与前n项和的关系，构造等比数列，求通项，等差中项及数域问题．