已知函数，n∈N*．（1）当n≥2时，求函数f（x）的极大值和极小值；（2）是否存在等差数列{an}，使得对一切n∈N*都成立？并说明理由．

网友回答

解：（1）=xn-1（x-1）n，f'（x）=（n-1）xn-2（x-1）n+xn-1?n（x-1）n-1=xn-2（x-1）n-1[（n-1）（x-1）+nx]，
令f'（x）=0得，
因为n≥2，所以x1＜x2＜x3．…（2分）
当n为偶数时f（x）的增减性如下表：
x（-∞，0）01（1，+∞）f'（x）+0+0-0+f（x）↗无极值↗极大值↘极小值↗所以当时，；当x=1时，y极小=0．…（4分）
当n为奇数时f（x）的增减性如下表：
x（-∞，0）01（1，+∞）f'（x）+0-0+0+f（x）↗极大值↘极小值↗无极值↗所以x=0时，y极大=0；当时，．…（6分）
（2）假设存在等差数列{an}使成立，
由组合数的性质，
把等式变为，
两式相加，因为{an}是等差数列，所以a1+an+1=a2+an=a3+an-1=…=an+1+a1，
故，
所以a1+an+1=n．?…（8分）
再分别令n=1，n=2，得a1+a2=1且a1+a3=2，
进一步可得满足题设的等差数列{an}的通项公式为．…（10分）

解析分析：（1）先利用二项式定理化简f（x），再求出其导函数f'（x），利用导函数值的正负求出函数的单调区间，进而求出函数f（x）的极大值和极小值；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在等差数列{an}，结合组合数和性质得到a1+an+1=n，再分别令n=1，n=2，得a1+a2=1且a1+a3=2，进一步可得满足题设的等差数列{an}的通项公式，故存在等差数列{bn}，满足条件．

点评：本题主要考查二项式定理，等差数列的通项公式，考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性与导数的关系．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，学生应熟练掌握．