已知函数的图象经过（其中e为自然对数的底数，e≈2.71）．（Ⅰ）求实数a；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：对于任意的n∈N*，都有成立．

网友回答

（Ⅰ）解：由y=f（x）的图象过点得，所以a=1．         
（Ⅱ）解：求导数可得：
由x＞1知，
令g（x）=x-lnx，则，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，当x＞1时，g（x）=x-lnx＞g（1）＞0
令f′（x）=0得x=e，令f′（x）＞0得，x＞e，令f′（x）＜0得1＜x＜e
故f（x）的增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）．                             
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为即当x＞1时，恒成立
当n∈N*时，令x=en≥e＞1，则有，即
故成立．                      

解析分析：（Ⅰ）利用函数y=f（x）的图象过点，建立方程，即可求得实数a；
（Ⅱ）求导数，求得f′（x）=0时，x=e，从而由导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为，从而可得当x＞1时，恒成立，当n∈N*时，令x=en≥e＞1，则有，由此可证结论．


点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，求得函数的单调性，确定最值是关键．