解答题已知椭圆的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点P在椭圆上，且满足|PF1|=2|PF2|，∠PF1F2=30°，直线y=kx+m与圆相切，与椭圆相交于A，B两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）证明∠AOB为定值（O为坐标原点）．
网友回答
解：（I）由题意，|PF1|=2|PF2|，∠PF1F2=30°，|F1F2|=2，
解三角形得，由椭圆定义得，
从而，又c=1，则，所以椭圆的方程为（6分）
（II）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立消去得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-6=0
由韦达定理得（9分）
又直线y=kx+m与圆相切，
则有（11分）
从而x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=（12分）?
所以，即∠AOB=90°为定值．（13分）解析分析：（I）由题意，|PF1|=2|PF2|，∠PF1F2=30°，|F1F2|=2，解三角形得，由此能够导出椭圆的方程．（II）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-6=0，由韦达定理得，又直线y=kx+m与圆相切，则有，由此能够求出∠AOB=90°为定值．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．