AD.BC为过圆的直径AB两短点的弦,且BD与AC相交于点E,求证：AC×AE+BD×BE=AB^2

网友回答

因为直径AB,所以∠ACB=∠ADB=90度,
又因AC×AE=(AE+CE)×AE=AE²+CE×AE=AD²+DE²+CE×AE
同理可得BD×BE=BE²+BE×DE
又由相交弦定理得：CE×AE=BE×DE,
所以AC×AE+BD×BE=AD²+DE²+2BE×DE+BE²
=AD²+(DE+BE)²=AD²+BD²
由勾股定理得：AD²+BD²=AB²
所以AC×AE+BD×BE=AB²