解答题已知数列{an}和{bn}满足a1=1且．（I）证明：数列{}是等差数列，并求数

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（I）证明：∵数列{an}和{bn}满足a1=1，
且，
∴（1+2an）（1-2an+1）=1，
∴an-an+1=2an?an+1，
∴，
∴数列是以=1为首项，以2为公差的等差数列，
∴=1+2（n-1）=2n-1，
∴．
（Ⅱ）解：由（I）得，
，
，
则k，
记f（n）=，
则，
∴数列{f（n）}是递增数列，
要使原不等式对任意正整数n都成立，只要k≤f（1），
即，
∴满足条件的最大实数k为．解析分析：（I）由题设知（1+2an）（1-2an+1）=1，故an-an+1=2an?an+1，，由此能够证明数列是以=1为首项，以2为公差的等差数列，并能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由，知，故，则k，由此能求出满足条件的最大实数k的值．点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．