在锐角三角形中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足条件sin22B+sin2BsinB+cos2B=1．（Ⅰ）求∠B的值；（Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值

网友回答

解：（1）∵sin22B+sin2BsinB+cos2B=1，∴4sin2Bcos2B+2sin2BcosB-2sin2B=0，
即2sin2B（2cosB-1）（cosB+1）=0．
又△ABC为锐角三角形，∴2cosB-1=0，即∠B=．
（Ⅱ）若b=3，由上可得∠B=，由余弦定理可得 cosB==，
∴b2=9=a2+c2-2ac×=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-?（a+c）2=，
∴a+c≤6，即a+c的最大值为6．

解析分析：（1）利用二倍角公式对sin22B+sin2BsinB+cos2B=1进行化简，最后求得cosB，进而求得B．（Ⅱ）由余弦定理可得 b2=9=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-（a+c）2=，由此求得a+c的最大值．

点评：本题主要考查了余弦定理、二倍角公式的应用．在求最值的问题上，对于二次函数，常用配方法来求，属于中档题．